Qual è la differenza tra l'integrale di Riemann e l'integrale di Riemann Stieltjes?


Risposta 1:

Qual è la differenza tra l'integrale di Riemann e l'integrale di Riemann Stieltjes?

L'integrale di Riemann Stieltjes è rispetto ad un'altra funzione, quindi invece di

abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}

è

abf(x)dG(x)\int_a^b{f(x)dG(x)}

. Se

GG

è differenziabile con derivati

gg

, quindi l'integrale diventa

abf(x)g(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}

. Finora questo non ha nulla a che fare con la definizione di integrale di Riemann. Si potrebbe definire l'integrale usando un approccio diverso (es. L'integrale di Lebesgue).

Cosa succede se

GG

non è differenziabile? Facciamo un esempio,

G(x)=xG(x) = x

Se

x<2x < 2

e

G(x)=x+1G(x) = x+1

Se

x2x \ge 2

.Ifthedomainoftheintegralincludesthepointx=2,theStieltjesintegralwillbetheordinaryintegralplusacontributionduetothejump.. If the domain of the integral includes the point x = 2, the Stieltjes integral will be the ordinary integral plus a contribution due to the jump.

L'integrale di Riemann Steiltjes è fatto allo stesso modo. Suddividere il dominio in un numero finito di parti. Valutare

f(x)f(x)

in un punto in ciascun intervallo moltiplicato per la modifica in

G(x)G(x)

nell'intervallo e aggiungere. Quindi prendere il limite poiché la lunghezza del sottointervallo più lungo tende a zero. Vedrai che i salti danno origine a un contributo pari al valore di

f(x)f(x)

al salto moltiplicato per la dimensione del salto in

G(x)G(x)

. Se

f(x)f(x)

isnotcontinuousorthediscontinuityinGisnotsimplyajumpthesituationisslightlymorecomplicated.UsethedefinitionbasedonDarbouxsumsinstead,oruseaLebesgueStieltjesintegral(whichisaLebesgueintegralwithrespecttoadifferentmeasure). is not continuous or the discontinuity in G is not simply a jump the situation is slightly more complicated. Use the definition based on Darboux sums instead, or use a Lebesgue Stieltjes integral (which is a Lebesgue integral with respect to a different measure).